توابع بیزیر و بی اسپلاین دوبعدی و کاربردآن

چکیده در سال 1959 تقریباً به دو طور همزمان دو نفر در دو نقطه ی متفاوت دنیا بر روی منحنی ها مطالعه کار کردند ، یکی از آنها peugeot کارمند و شاگرد pierre bezier بود. پیشنهادی برای شکل جدیدی از معادله منحنی ها و سطوح برای بدنه اتومبیل ارایه کرد و به دلیل کمک شایان توجه bezier به وی و معرفی سریع تر این منحنی ها در دنیای ریاضیات این منحنی ها به نام bezier نامگذاری شدند(]3 و 2[ ). الگوریتم حل این منحنی به نام نفر دومی شد که بر روی این منحنی ها کار می کرد ولی decasteljau نام داشت. این منحنی ها بر خلاف تکنیک های رایج درونیابی که از نقاط داده شده عبور می کردند، عبور نمی کردند و نقاط تنها برای کنترل شکل منحنی استفاده می شدند(]4 ([. در طراحی های مهندسی معمولاً این روش بر درونیابی این نقاط ترجیح داده می شود. بعد از مدتی به نقص هایی که این منحنی ها داشتند پی بردند. به عنوان مثال در منحنی های bezier درجه منحنی ایجاد شده همواره ثابت نبوده و یکی کمتر از تعداد نقاط است که باعث ایجاد منحنی با درجات بسیار بالا می شود و هم چنین در این منحنی ها تغییر در یک نقطه باعث تغییر در کل منحنی می شود یعنی منحنی به نقاط کنترل خود وابسته است. این ویژگی باعث می شود طراح نتواند به طور دلخواه قسمتی از منحنی را تغییر دهد. برای حل این مشکلات منحنی های b-spline ارایه شدند (]6([ . منحنی های b-spline به تعداد نقاط مرتبط نیستند لذا درجه ی آن ها مستقل از تعداد نقاط کنترل منحنی است و با تغییر یکی از نقاط کنترل منحنی فقط در محدوده ی خاصی تغییر می کند و کل منحنی را تغییر نمی دهد( ]7 ([. بعد از ارایه ی منحنی های b-spline رویه های این منحنی و منحنی های غیریکنواخت b-spline به نام nurbs نیز معرفی شدند. امروزه از سطوح nurbs در مدل سازی موجودات، طراحی بدن انسان و فیلم سازی استفاده می شود (]2 ([. بعد از معرفی این منحنی ها ریاضیدانان زیادی بر روی این منحنی ها کار کردند و الگوریتم های مختلفی برای حل ارائه دادند. k.kasono و t.kuragano در مقاله ی خود با عنوان نسل منحنی b-spline ، تغییر آنها بر روی شعاع انحناء را مشخص کردند(]12 ([.همچنین در مقاله خود یک روش برای منحنی های b-splineاز درجه 5 پیشنهاد می دهد.])13[ ) و یک روش برای تغییر شکل این منحنی ها با کمک شعاع انحناء ارایه می دهد. t. toe & t. vanto در مقاله ی خود با عنوان تطبیق منحنی با استفاده از منحنی های b-spline ])11[) یک الگوریتم برای تخمین نقاط کنترل از b-spline و منحنی تطبیق داده شد که با استفاده از اندازه های غیرمشابه بر پایه ی گره های به اشتراک گذاشته شده با منحنی های b-spline ارایه می دهد. در این مقاله جزئیات برنامه ی منحنی تطبیق شده بررسی می شود و نشان می دهد که هر کدام از این منحنی ها می تواند با یک منحنی b-spline تطبیق داده شود. yichen و xi-antlan در مقاله ی خود با عنوان یک نسل جدید از منحنی و رویه ی bezier (]8[ )یک فرمول جدید برای طراحی و نمایش منحنی ها و رویه ها ارایه دادند. آنها در ابتدا یک دسته از توابع پایه ای چند جمله ای ازدرجه n به شکل پارامتری تغییرپذیر و قابل تطبیق که گسترشی از توابع کلاسیک پایه ای برشتاین بود ارایه دادند. منحنی ها و رویه های bezier مشابه را quasi-bezier نامیده و بر روی ویژگی این منحنی ها مطالعه کردند. m. paurazady, y.xu در مقاله ی خود با عنوان دستکاری های مستقیم در منحنی های nurbs و b-spline (]10[) یک روش برای دستکاری های مستقیم در منحنی های nurbs و b-spline با استفاده از محدودیت های هندسی ارایه کردند. در این مقاله از منحنی های دگردیس پذیر استفاده کرده اند تا قادر به رسم شکل های نرمی که مدنظر داشته اند باشند. l. cinque, s. levialdi در مقاله ی خود با عنوان توصیف و تشریح شکل با استفاده از منحنی های چندجمله ایbezier مکعبی (]9[) یک روش جدید برای توصیف شکل که شامل یک تقریبی از یک شکل با تعدادی از بخش های منحنی bezier تغییرپذیرمی باشند، ارائه دادند. آنها اظهار کردندکه در این روش می توان دقت تقریبی bezier را با یک پارامتر کنترل کرد. بنابراین می توان پیچیدگی، تفکیک پذیری و دقت تقریبی فرآیند را کنترل کرد. در این مقاله برای حل یک الگوریتم با نام bezier contour app که به عنوان ورودی یک بخش از نقاط کانتور( ]5[) از شکل و دو تا از بردارهای تخمین زده را وارد می کند، معرفی کرده اند. این پایان نامه نظریه ی تثبیت این منحنی ها را از نقطه نظر یک طراح و برنامه نویس، با استفاده از نرم افزار matematica که علاوه بر ادراک حسی، انواع مدل های مختلف در رویه ها و منحنی های bezier و b-spline را در دنیای واقعی تشریح می کند، مورد بررسی قرار می دهد. در این پایان نامه به مطالعه و بررسی منحنی ها و رویه های b-spline و bezier خواهیم پرداخت و ویژگی های آنها را بر می شماریم علاوه بر این کاربرد آنها را در دنیای واقعی نشان خواهیم داد.